某精品水果超市销售一种进口水果A，从去年1至7月，这种水果的进价一路攀升，每千克A的进价y1与月份x（1≤x≤7，且x为整数），之间的函数关系式如下表：月份x1234567y1（元...-青果题库-青果学院

题目：

某精品水果超市销售一种进口水果A，从去年1至7月，这种水果的进价一路攀升，每千克A的进价y₁与月份x（1≤x≤7，且x为整数），之间的函数关系式如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7
y₁（元/千克）	50	60	70	80	90	100	110

随着我国对一些国家进出口关税的调整，该水果的进价涨势趋缓，在8至12月份每千克水果A的进价y₂与月份x（8≤x≤12，且x为整数）之间存在如下图所示的变化趋势．
（1）请观察表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数、二次函数的有关知识分别写出y₁与x和y₂与x的函数关系式．
（2）若去年该水果的售价为每千克180元，且销售该水果每月必须支出（除进价外）的固定支出为300元，已知该水果在1月至7月的销量p₁（千克）与月份x满足：p₁=10x+80；8月至12月的销量p₂（千克）与月份x满足：p₂=-10x+250；则该水果在第几月销售时，可使该月所获得的利润最大？并求出此时的最大利润．
（3）今年1月到6月，该进口水果的进价进行调整，每月进价均比去年12月的进价上涨15元，且每月的固定支出（除进价外）增加了15%，已知该进口水果的售价在去年的基础上提高了a%（a＜100），与此同时每月的销量均在去年12月的基础上减少了0.2a%，这样销售下去要使今年1至6月的总利润为68130元，试求出a的值．（保留两个有效数字）（参考数据：23²=529，24²=576，25²=625，26²=676）

答案

解：（1）由表格可知，y₁是x的一次函数．
设y₁=k₁x+b₁（k₁≠0）．
将（1，50），（2，60）分别代入得：

k1+b1=50

2k1+b1=60.

解这个方程组得

k1=10

b1=40.

∴y₁=10x+40．
经验证其余各组值也均满足此函数关系式．
∴y₁=10x+40．
设y₂=k₂x+b₂（k₂≠0）．
将坐标（8，15）（12，135）分别代入得：

8k2+b2=115

12k2+b2=135

解得：

k2=5

b2=75

，
故y₂=5x+75．

（2）设：利润为W元．
当1≤x≤7时，
W₁=（180-10x-40）·（10x+80）-300，
=（-10x+140）（10x+800）-300，
=-100x²+600x+10900，
-

b

2a

=-

600

-200

=3．
∴当x=3时，W₁有最大值，W_1大=11800．
当8≤x≤12时，
W₂=（180-5x-75）（-10x+250）-300
=（-5x+105）（-10x+250）-300
=50x²-2300x+25950．
∵-

b

2a

=-

-2300

100

=23，又x＜23，
∴W₂随x增大而减小，∴x=8时，W₂有最大值，
W_2大=10750．
∵W_1大＞W_2大
∴在第3月时，可获最大利润11800．

（3）根据题意可得出：6×[180（1+a%）-（5×12+75+15）]·（-10×12+250）（1-0.2a%）-6×300（1+15%）=68130．
令a%=t，原方程化为[6（1+t）-5]（1-

1

5

t）-3=0．
整理得 6t²-29t+10=0．∴t=

29±

601

12

≈

29±25

12

．
则t1=

4

12

=

1

3

≈33.3%，t2=

54

12

=450%．
∴a₁≈33，a₂=450（舍）．
∴a=33．
即：a的值为33．
解：（1）由表格可知，y₁是x的一次函数．
设y₁=k₁x+b₁（k₁≠0）．
将（1，50），（2，60）分别代入得：