试题

（2006·恩施州）现有边长为180厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
某校九年级（2）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面，进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为矩形的水槽，如图．
若∠ABC=90°，设BC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽，如图．
若∠ABC=1 20°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供一种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

解：（1）①当BC=x时，AB=CD=

180-x

2

，y=

180-x

2

x，即y=-

1

2

x²+90x，
当x=90时，y_max=4050
答：当x=90cm时，y值最大，最大值是4050cm²．
②过B、C点分别作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
设BC=x，y=

3

16

（-x²+360x+32400）
=-

3

16

x2+

45 3

2

x+2025

3

当x=60时，y=2700

3

≈4676.5．
答：当x=60cm时，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050（8分）

（2）正确方案：
例解：当截面为半圆时，因为180=πr，所以其半径为r=

180

π

，其面积为S=

1

2

π（

180

π

）²
≈5156.6＞4676.5，面积更大．
①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．

解：（1）①当BC=x时，AB=CD=

180-x

2

，y=

180-x

2

x，即y=-

1

2

x²+90x，
当x=90时，y_max=4050
答：当x=90cm时，y值最大，最大值是4050cm²．
②过B、C点分别作BE⊥AD于E，CE⊥AD于F．
设BC=x，y=

3

16

（-x²+360x+32400）
=-

3

16

x2+

45 3

2

x+2025

3

当x=60时，y=2700

3

≈4676.5．
答：当x=60cm时，y值最大，最大值是4676.5cm²
4676.5＞4050（8分）

（2）正确方案：
例解：当截面为半圆时，因为180=πr，所以其半径为r=

180

π

，其面积为S=

1

2

π（

180

π

）²
≈5156.6＞4676.5，面积更大．
①正八边形一半，②正十边形一半，③半圆等．