试题

（2009·吉林）某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN．准备在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：

品  种	红色花草	黄色花草	紫色花草
价格（元/米2）	60	80	120

设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
（1）S与x之间的函数关系式为S=；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求EM的长．

解：（1）由分析（1）可得答案
S=x²+（4-x）²或2x²-8x+16．（2分）

（2）W=60×4S_△AEH+80（S_{正方形EFGN}-S_{正方形MNPQ}）+120S_{正方形MNPQ}
=60×4×

1

2

x（4-x）+80[x²+（4-x）²-x²]+120x²（4分）
=80x²-160x+1280．（5分）
配方得W=80（x-1）²+1200．（6分）
∴当x=1时，W_最小值=1200元．（7分）

（3）因为四个黄颜色的直角三角形全等，所以EM=QH，
设EM=a米，则MH=MQ+QH=MQ+EM=（a+1）米．
在Rt△EMH中，a²+（a+1）²=1²+3²，
解得a=

-1± 19

2

∵a＞0
∴a=

19 -1

2

∴EM的长为

19 -1

2

米．（10分）