试题

题目：
（2011·贵阳）用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图①②③中的一种）
青果学院
设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）
（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
（2）在图②中，如果不诱钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
答案
解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

（2）AD=（12-4x）÷3=4-
4
3
x，
S=x（4-
4
3
x），
=-
4
3
x2+4x，
当x=-
4
2×(-
4
3
)
=
3
2
时，
S最大=
0-16
4×(-
4
3
)
=3，
答：当x=
3
2
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

（3）AD=（a-nx）÷3=
a
3
-
n
3
x，
S=x（
a
3
-
n
3
x），
=-
n
3
x2+
a
3
x，
当x=-
a
3
2×(-
n
3
)
=
a
2n
时
S最大=
-
a2
9
4×(-
n
3
)
=
a2
12n
．
答：当x=
a
2n
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是
a2
12n
平方米．
解：（1）AD=（12-3x）÷3=4-x，
列方程：x（4-x）=3，
x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
答：当x=1或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；

（2）AD=（12-4x）÷3=4-
4
3
x，
S=x（4-
4
3
x），
=-
4
3
x2+4x，
当x=-
4
2×(-
4
3
)
=
3
2
时，
S最大=
0-16
4×(-
4
3
)
=3，
答：当x=
3
2
时，矩形架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；

（3）AD=（a-nx）÷3=
a
3
-
n
3
x，
S=x（
a
3
-
n
3
x），
=-
n
3
x2+
a
3
x，
当x=-
a
3
2×(-
n
3
)
=
a
2n
时
S最大=
-
a2
9
4×(-
n
3
)
=
a2
12n
．
答：当x=
a
2n
时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积是
a2
12n
平方米．
考点梳理
二次函数的应用；一元二次方程的应用．
（1）先用含x的代数式（12-3x）÷3=4-x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式列方程，求出x的值．
（2）用含x的代数式（12-4x）÷3=4-
4
3
x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
（3）用含x的代数式（a-nx）÷3=
a
3
-
n
3
x表示横档AD的长，然后根据矩形的面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积以及对应的x的值．
本题考查的是二次函数的应用，（1）根据面积公式列方程，求出x的值．（2）根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值．（3）根据面积公式得到字母系数的二次函数，然后求出函数的最大值．
应用题；压轴题．
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