试题

（2012·营口）如图，四边形ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，剪掉阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒．
（1）若折叠后长方体底面正方形的面积为1250cm²，求长方体包装盒的高；
（2）设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为x（cm），长方体的侧面积为S（cm²），求S与x的函数关系式，并求x为何值时，S的值最大．

解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，则NP=

2

xcm，
DP=

60- 2 x

2

，QM=PW=

2

×

60- 2 x

2

，
由题意得：(

60- 2 x

2

×

2

)2=1250．        
解得，x1=5

2

，x2=55

2

（超过60，故不符合题意舍去），
答：长方体包装盒的高为5

2

cm．
另法：∵由已知得底面正方形的边长为

1250

=25

2

，
∴AN=25

2

×

2

2

=25．
∴PN=60-25×2=10．
∴PQ=10×

2

2

=5

2

（cm）．
答：长方体包装盒的高为5

2

cm．

（2）由题意得，S=4×S_{四边形QPWM}=4×PW·QP，
∵PW=

2

×

60- 2 x

2

，QP=x，
∴S=4×

2

×

60- 2 x

2

×x=-4x2+120

2

x．
∵a=-4＜0，
∴当x=15

2

时，S有最大值．
解：（1）设剪掉阴影部分的每个等腰直角三角形的腰长为xcm，则NP=

2

xcm，
DP=

60- 2 x

2

，QM=PW=

2

×

60- 2 x

2

，
由题意得：(

60- 2 x

2

×

2

)2=1250．        
解得，x1=5

2

，x2=55

2

（超过60，故不符合题意舍去），
答：长方体包装盒的高为5

2

cm．
另法：∵由已知得底面正方形的边长为

1250

=25

2

，
∴AN=25

2

×

2

2

=25．
∴PN=60-25×2=10．
∴PQ=10×

2

2

=5

2

（cm）．
答：长方体包装盒的高为5

2

cm．

（2）由题意得，S=4×S_{四边形QPWM}=4×PW·QP，
∵PW=

2

×

60- 2 x

2

，QP=x，
∴S=4×

2

×

60- 2 x

2

×x=-4x2+120

2

x．
∵a=-4＜0，
∴当x=15

2

时，S有最大值．