试题

（2013·朝阳）甲、乙两企业去年末都有利润积累，甲企业利润为300万元，甲企业认为：企业要可持续发展，必须进行自主创新和技术改造，由于投资更新等原因，甲企业的利润积累y_甲（万元）与时间x（年）之间的函数图象呈抛物线（如图）乙企业的利润积累y_乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．
（1）乙企业去年末的利润积累是万元，乙企业利润积累y_乙（万元）与时间x（年）之间的函数关系式为（不必写出自变量x的取值范围）．
（2）到第几年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系？
（3）改造初期，甲企业的利润积累逐渐减少，甚至会低于乙企业的利润积累．随着甲企业进入改造成长期，甲企业的利润积累重新高于乙企业的利润积累，试问第几年（保留整数位．参考数据：

13

≈3.6）甲企业开始进入改造成长期？5年后（含5年）甲企业进入改造成熟期，效益将显现出来．改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累多少万元？

解：（1）∵乙企业的利润积累y_乙（万元）每年增加50万元，预计第一年末（今年末）利润积累150万元．
∴乙企业去年末的利润积累是100万元，
∴乙企业利润积累y_乙与时间x之间函数关系为：y_乙=100+50x；
故答案为：100，y_乙=100+50x；

（2）依据题意，设甲企业的利润积累y_甲与时间x之间的解析式为：
y_甲=a（x-1）（x-2），
∵y_甲=300时，x=0，∴a=150，
∴y_甲=150（x-1）（x-2）=150x²-450x+300，
依据题意得：y_甲=3y_乙，
∴150x²-450x+300=3（100+50x），
解得：x₁=0（改造初期舍去），x₂=4，
答：到第4年末，甲企业的利润积累重新达到去年末与乙企业利润积累的倍数关系；

（3）甲企业刚好进入改造成长期时：y_甲=y_乙，
∴150x²-450x+300=100+50x，
解得：x=

5± 13

3

，
∴x₁=0（改造初期舍去），x₂≈3，
∴第3年甲企业进入改造成长期，
设改造成熟期，甲企业的利润积累与乙企业的利润积累的差为W万元，依据题意得出：
W=y_甲-y_乙=150x²-450x+300-（100+50x）=150x²-500x+200，
根据函数性质分析，当x＞

5

3

，W随x的增大而增大，
∵x≥5，∴x=5时，W取得最小值为1450，
∴改造成熟期，甲企业的利润积累最少会高于乙企业的利润积累1450万元．