试题

（本大题有两题，请同学们选择你喜欢且拿手一题解答）
【Ⅰ】如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【Ⅱ】我校工会于“三·八”妇女节期间组织女职工到国家级风景区“文成铜铃山”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：
【领队】组团去“文成铜铃山”旅游每人收费是多少？
【导游】如果人数不超过30人，人均旅游费用为360元．
【领队】超过30人怎样优惠呢？
【导游】如果超过30人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于300元．
我校按旅行社的收费标准组团浏览“文成铜铃山”结束后，共支付给旅行社12400元．设我校这次参加旅游的共有x人．
请你根据上述信息，回答下列问题：
（1）我校参加旅游的人数x的取值范围是；
（2）我校参加旅游的人每人实际应收费元（用含x的代数式表示）；
（3）求我校这次到“文成铜铃山”观光旅游的女职工共有多少人？

【Ⅰ】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=5cm，
且∠ADB=90°．
∴AD=

AB2-BD2

=12(cm)．
即AD的长为12cm；（3分）

（2）AP=t，PD=12-t，S△PDC=

1

2

PD·DC=

1

2

×5(12-t)
又由S_△PDC=15，得

5

2

(12-t)=15．
解得，t=6．（4分）

（3）假设存在t，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．
①若点M在线段CD上，
即0≤t≤

5

2

时，PD=12-t，DM=5-2t，
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC，
即

1

2

×(12-t)(5-2t)=52t²-29t+50=0
解，得t₁=12.5（舍去），t₂=2．（2分）
②若点M在射线DB上，即

5

2

≤t≤12．
由S_△PMD=

1

12

S_△ABC
得

1

2

(12-t)(2t-5)=52t²-29t+70=0
解，得t 1=

29+ 281

4

，
t 2=

29- 281

4

．（2分）
综上，存在t的值为2或

29+ 281

4

或

29- 281

4

，
使得S_△PMD=

1

12

S_△ABC．（1分）

【Ⅱ】
解：（1）我校参加旅游的人数x的取值范围是x＞30；（2分）

（2）我校参加旅游的人每人实际应收费[360-5（x-30）]元（用含x的代数式表示）；（3分）

（3）依题意，得[360-5·（x-30）]·x=12400，（2分）
化简、整理，得x²-102x+2480=0．
解，得x₁=40，x₂=62．（2分）
当x₁=40时，360-5·（x-30）=360-5·（40-30）=310＞300，符合题意．
当x₂=62时，360-5·（x-30）=360-5·（62-30）=200＜300，不符合题意，应舍去．
∴x₁=40．（2分）
答：我校这次参加旅游的共有40人．（1分）