试题

已知：如图，斜坡PQ的坡度i=1：

3

，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．
（1）写出A点的坐标及直线PQ的解析式；
（2）求此抛物线AMC的解析式；
（3）求|x_C-x_B|；
（4）求B点与C点间的距离．

解：（1）过点C作CD⊥x轴一点D，
∵在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A点的坐标为：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴设C点横坐标为x，则纵坐标为：

3

3

x，
∴直线PQ的解析式为：y=

3

3

x；

（2）过点M作MN⊥x轴于点N，作AF⊥MN于点F，连接AM，
∵水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，则AF=

3

，
∴M点坐标为：（

3

，2），代入y=a（x-

3

） ²+2，
再将（0，1）代入上式得：
1=a（0-

3

） ²+2，
解得：a=-

1

3

，
此抛物线AMC的解析式为：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1；

（3）将直线PQ的解析式：y=

3

3

x，以及抛物线AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1联立：

3

3

x=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1，
整理得出：x ²-

3

x-3=0，
解得：x₁=

3 + 15

2

，x₂=

3 - 15

2

，
故C点横坐标为：

3 + 15

2

，B点横坐标为：

3 - 15

2

，
∴|x_C-x_B|=

3 + 15

2

-

3 - 15

2

=

15

（m）；

（4）过点B作BH⊥CD于点H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴tan∠CBH=

1

3

=

3

3

，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=

15

，
∴BC=

BH

cos30°

=

15

3 2

=2

5

（m）．
解：（1）过点C作CD⊥x轴一点D，
∵在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，
∴A点的坐标为：A（0，1），
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴设C点横坐标为x，则纵坐标为：

3

3

x，
∴直线PQ的解析式为：y=

3

3

x；

（2）过点M作MN⊥x轴于点N，作AF⊥MN于点F，连接AM，
∵水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，
∴MF=1，MN=2，AM=2，则AF=

3

，
∴M点坐标为：（

3

，2），代入y=a（x-

3

） ²+2，
再将（0，1）代入上式得：
1=a（0-

3

） ²+2，
解得：a=-

1

3

，
此抛物线AMC的解析式为：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1；

（3）将直线PQ的解析式：y=

3

3

x，以及抛物线AMC的解析式：y=-

1

3

（x-

3

） ²+2=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1联立：

3

3

x=-

1

3

x ²+

2 3

3

x+1，
整理得出：x ²-

3

x-3=0，
解得：x₁=

3 + 15

2

，x₂=

3 - 15

2

，
故C点横坐标为：

3 + 15

2

，B点横坐标为：

3 - 15

2

，
∴|x_C-x_B|=

3 + 15

2

-

3 - 15

2

=

15

（m）；

（4）过点B作BH⊥CD于点H，
∵斜坡PQ的坡度i=1：

3

，
∴tan∠CBH=

1

3

=

3

3

，
∴∠CBH=30°，
∵|x_C-x_B|=BH=

15

，
∴BC=

BH

cos30°

=

15

3 2

=2

5

（m）．