试题

实数a，b，c满足（a+c）（a+b+c）＜0，求证：（b-c）²＞4a（a+b+c）．

解：设辅助二次函数y=ax²+（b-c）x+（a+b+c），
当x₁=0时，y₁=a+b+c，
当x₂=-1时，y₂=a-（b-c）+（a+b+c）=2（a+c），
所以y₁y₂=2（a+c）（a+b+c）＜0，
由此说明二次函数图象上两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）在x轴两侧，
即此函数图象与x轴相交，
所以二次函数的判别式大于零，
即△=（b-c）²-4a（a+b+c）＞0．
所以（b-c）²＞4a（a+b+c）．
解：设辅助二次函数y=ax²+（b-c）x+（a+b+c），
当x₁=0时，y₁=a+b+c，
当x₂=-1时，y₂=a-（b-c）+（a+b+c）=2（a+c），
所以y₁y₂=2（a+c）（a+b+c）＜0，
由此说明二次函数图象上两点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）在x轴两侧，
即此函数图象与x轴相交，
所以二次函数的判别式大于零，
即△=（b-c）²-4a（a+b+c）＞0．
所以（b-c）²＞4a（a+b+c）．