试题

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包一个，还要装上该站发往下面行程中每个车站的邮包一个．
（1）写出列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）．
（2）当n=20时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？

解：（1）当列车停靠在第x个车站时，
邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个车站的邮包共（n-x）个．
根据题意，完成下表：

车站序号	在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1	n-1
2	（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
3	2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
4	3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）
5	4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）
…	…
n	0

由上表可得，y=x（n-x）．
答：列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y=x（n-x）．

（2）当n=20时，y=x（20-x）=-x²+20x=-（x-10）²+100，
当x=10时，y取得最大值．
答：列车在第10个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．
解：（1）当列车停靠在第x个车站时，
邮政车厢上需要卸下已经通过的（x-1）个车站发给该站的邮包共（x-1）个，
还要装上下面行程中要停靠的（n-x）个车站的邮包共（n-x）个．
根据题意，完成下表：

车站序号	在第x车站启程时邮政车厢邮包总数
1	n-1
2	（n-1）-1+（n-2）=2（n-2）
3	2（n-2）-2+（n-3）=3（n-3）
4	3（n-3）-3+（n-4）=4（n-4）
5	4（n-4）-4+（n-5）=5（n-5）
…	…
n	0

由上表可得，y=x（n-x）．
答：列车在第x车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y=x（n-x）．

（2）当n=20时，y=x（20-x）=-x²+20x=-（x-10）²+100，
当x=10时，y取得最大值．
答：列车在第10个车站启程时，邮政车厢上邮包的个数最多．