试题

题目：
数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　）



答案
B
解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm2，根据题意，知
S=dx，且2x+πd=400．
S=dx=
1
2π
·πd·2x≤
1
2π
(
πd+2x
2
) 2=
20000
π
，
当且仅当πd=2x=200，即x=100时等号成立，此时，d=
200
π
，
所以，应设计矩形的长为100m，宽约为63.7m时，矩形面积最大；
故选B．
考点梳理
二次函数的应用．
先设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积是Sm2，则S=dx，且2x+πd=400；而S=dx=
1
2π
·πd·2x≤
1
2π
(
πd+2x
2
) 2，可得最大值以及对应的d、x的值，即可求出答案．
本题考查了二次函数的应用；解题的关键是根据基本不等式a+b≥2
ab
，（其中a＞0，b＞0）进行变形应用，或者用二次函数的性质解答也可以．
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