试题

题目：
青果学院如图，抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=
1
2
(x-3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=
3
2
；③当x=0时，y2-y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．
其中正确结论的编号是
①⑤
①⑤
．
答案
①⑤

解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；
②将点A（1，3）代入抛物线y1=a(x+2)2-3，得a（1+2）2-3=3，解得a=
2
3
，故本选项错误；
③当x=0时，y1=
2
3
(0+2)2-3=-
1
3
，y2=
1
2
(0-3)2+1=
11
2
，y2-y1=
11
2
+
1
3
=
35
6
，故本选项错误；
④令y2=y1，则有
2
3
(x+2)2-3=
1
2
(x-3)2+1，解得x1=1，x2=-35．几何图象可知，y2＞y1，-35＜x＜1，故本选项错误；
⑤令
2
3
(x+2)2-3=3，解得，x1=1或x2=-5；AB=5+1=6；
1
2
(x-3)2+1=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5-1=4；
则2AB=3AC．故本选项正确．
故答案答案为①⑤．
考点梳理
二次函数的性质．
①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；
②将点A（1，3）代入y1=a(x+2)2-3得a=
2
3
即可判断；
③将x=0分别代入y1=
2
3
(x+2)2-3和y2=
1
2
(x-3)2+1，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2-y1的值；
④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；
⑤令
2
3
(x+2)2-3=3，
1
2
(x-3)2+1=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断．
本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．
计算题．
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