试题

题目：
青果学院二次函数y=
2
3
x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数y=
2
3
x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长=
2011
2011
．
答案
2011

青果学院解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，
设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=
3
2
a，BB2=
3
2
b，CB3=
3
2
c，
在正△A0B1A1中，B1（
3
2
a，
a
2
），
代入y=
2
3
x2中，得
a
2
=
2
3
·（
3
2
a）2，解得a=1，即A0A1=1，
在正△A1B2A2中，B2（
3
2
b，1+
b
2
），
代入y=
2
3
x2中，得1+
b
2
=
2
3
·（
3
2
b）2，解得b=2，即A1A2=2，
在正△A2B3A3中，B3（
3
2
c，3+
c
2
），
代入y=
2
3
x2中，得3+
c
2
=
2
3
·（
3
2
c）2，解得c=3，即A2A3=3，
由此可得△A2010B2011A2011的边长=2011．
故答案为：2011．
考点梳理
二次函数的性质；等边三角形的性质．
分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1=a，A1A2=b，A2A3=c，则AB1=
3
2
a，BB2=
3
2
b，CB3=
3
2
c，再根据所求正三角形的边长，分别表示B1，B2，B3的纵坐标，逐步代入抛物线y=
2
3
x2中，求a、b、c的值得出规律．
此题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正三角形的性质表示点的坐标，利用抛物线解析式求正三角形的边长，得到规律．
压轴题；规律型．
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