试题
题目:
关于二次函数y=mx
2
-x-m+1(m≠0).以下结论:①不论m取何值,抛物线总经过点(1,0);②若m<0,抛物线交x轴于A、B两点,则AB>2;③当x=m时,函数值y≥0;④若m>1,则当x>1时,y随x的增大而增大.其中正确的序号是( )
A.①②
B.②③
C.①②④
D.①③④
答案
C
解:①由二次函数y=mx
2
-x-m+1(m≠0),得
y=[m(x+1)-1](x-1);
令y=0,则m(x+1)-1=0或x-1=0,即x
1
=
1-m
m
,x
2
=1,
所以该函数经过点(
1-m
m
,0)、(1,0),
∴无论m取何值,抛物线总经过点(1,0);
故本选项正确;
②若m<0时,AB=|x
2
-x
1
|=|1-
1-m
m
|=|2-
1
m
|>|2|=2,即AB>2;故本选项正确;
③根据题意,得
y=m
3
-2m+1=(m-1)(m
2
+m-1)(m≠0),
∵m
2
>0,
∴m
2
+m-1>m-1,
当m-1≤0,即m≤1时,
(m-1)(m
2
+m-1)≤(m-1)
2
,
∵(m-1)
2
≥0,
∴(m-1)(m
2
+m-1)≤0或(m-1)(m
2
+m-1)≥0,
即y≤0或y≥0;
故本选项错误;
④当m>1时,x
1
=
1-m
m
<0<x
2
,且抛物线该抛物线开口向上,
∴当x>1时,该函数在区间[1,+∞)上是增函数,即y随x的增大而增大.
故本选项正确;
综上所述,正确的说法有①②④.
故选C.
考点梳理
考点
分析
点评
二次函数的性质.
①令y=0,利用因式分解法求得相应的x的值,即该函数所经过的定点坐标;
②根据AB=|x
1
-x
2
|求解;
③需要对m的取值进行讨论:当m≤1时,y≤0;
④根据二次函数图象的开口方向、对称轴方程以及单调性进行判断.
本题主要考查抛物线与x轴的交点的知识点,解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质,此题难度一般.
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1
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2
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1
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1
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2
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1
=y
2
,记M=y
1
=y
2
.下列判断:
①当x>2时,M=y
2
;②当x<0时,x值越大,M值越大;③使得M大于4的x值不存在;④若M=2,则x=1.
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