试题

题目:
在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式和二次函数的图象的顶点;
(2)要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围.
答案
解:(1)当k=-2时,A(1,-2),
∵A在反比例函数图象上,
∴设反比例函数的解析式为:y=
m
x

将A(1,-2)代入得:-2=
m
1

解得:m=-2.
∴反比例函数的解析式为:y=-
2
x

当k=-2时,y=k(x2+x-1)=-2(x2+x-1)=-2(x2+x-1)=-2(x+0.5)2+2.5,
∴二次函数的图象的顶点坐标为(-0.5,2.5);

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,
∴k<0.
∵二次函数y=k(x2+x-1)=k(x+
1
2
)2-
5
4
k

∴对称轴为:直线x=-
1
2

要使二次函数y=k(x2+x-1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须在对称轴的左边,即x<-
1
2
时,才能使得y随着x的增大而增大.
综上所述,k<0且x<-
1
2

解:(1)当k=-2时,A(1,-2),
∵A在反比例函数图象上,
∴设反比例函数的解析式为:y=
m
x

将A(1,-2)代入得:-2=
m
1

解得:m=-2.
∴反比例函数的解析式为:y=-
2
x

当k=-2时,y=k(x2+x-1)=-2(x2+x-1)=-2(x2+x-1)=-2(x+0.5)2+2.5,
∴二次函数的图象的顶点坐标为(-0.5,2.5);

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,
∴k<0.
∵二次函数y=k(x2+x-1)=k(x+
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2
)2-
5
4
k

∴对称轴为:直线x=-
1
2

要使二次函数y=k(x2+x-1)满足上述条件,在k<0的情况下,x必须在对称轴的左边,即x<-
1
2
时,才能使得y随着x的增大而增大.
综上所述,k<0且x<-
1
2
考点梳理
二次函数的性质;反比例函数的性质.
(1)当k=-2时,即可求得点A的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y=
m
x
,利用待定系数法即可求得答案,将k=-2代入y=k(x2+x-1),运用配方法写成顶点式,即可求出二次函数的图象的顶点;
(2)由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大,可得k<0,又由二次函数y=k(x2+x-1)的对称轴为x=-
1
2
,可得x<-
1
2
时,才能使得y随着x的增大而增大
此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应用.
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