试题

（2012·增城市一模）已知点A（-1，-1）在抛物线y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1（其中x是自变量）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由．

解：（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上，
则（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
当k=1时，函数y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1为一次函数，不合题意，舍去，
当k=-3时，抛物线的解析式为y=8x²+10x+1，…（4分）
由抛物线的解析式知其对称轴为x=-

b

2a

=-

10

2×8

=-

5

8

，
即x=-

5

8

；…（5分）

（2）存在．
理由如下：∵点B与点A关于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1对称，且A（-1，-1），
∴B（-

1

4

，-1），…（6分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，
此时的直线为x=-

1

4

，…（8分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且不与y轴平行时，
设直线y=mx+n与抛物线y=8x²+10x+1只交于一点B，
则-

1

4

m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m=6 n= 1 2

故所求的直线为y=6x+

1

2

，
综上所述，存在与抛物线只交于一点B的直线x=-

1

4

或y=6x+

1

2

．…（14分）
解：（1）已知点A（-1，-1）在已知抛物线上，
则（k²-1）+2（k-2）+1=-1，
即k²+2k-3=0，
解得 k₁=1，k₂=-3，…分
当k=1时，函数y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1为一次函数，不合题意，舍去，
当k=-3时，抛物线的解析式为y=8x²+10x+1，…（4分）
由抛物线的解析式知其对称轴为x=-

b

2a

=-

10

2×8

=-

5

8

，
即x=-

5

8

；…（5分）

（2）存在．
理由如下：∵点B与点A关于y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1对称，且A（-1，-1），
∴B（-

1

4

，-1），…（6分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且与y轴平行时，此直线与抛物线只有一个交点，
此时的直线为x=-

1

4

，…（8分）
当直线过B（-

1

4

，-1）且不与y轴平行时，
设直线y=mx+n与抛物线y=8x²+10x+1只交于一点B，
则-

1

4

m+n=-1，…（10分）
即m-4n-4=0，①
把y=mx+n代入y=8x²+10x+1，得8x²+10x+1=mx+n，…（11分）
即8x²+（10-m）x+1-n=0，…（12分）
由8x²+（10-m）x+1-n=0，△=0，得（10-m）²-32（1-n）=0，②
由①，②得

m=6 n= 1 2

故所求的直线为y=6x+

1

2

，
综上所述，存在与抛物线只交于一点B的直线x=-

1

4

或y=6x+

1

2

．…（14分）