试题

已知二次函数y=

1

2

x2+bx+c的图象经过点A（c，-2），
求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3．（题目中的矩形框部分是一段被染了无法辨认的文字．）
（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由．
（2）请根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整．

解：（1）能．
由结论中的对称轴x=3，
得-

b

2×( 1 2 )

=3，则b=-3，
又因图象经过点A（c，2），
则：

1

2

c2-3c+c=-2，
c²-4c+4=0，（c-2）²=0，
∴c₁=c₂=2，
∴c=2．
∴二次函数解析式为y=

1

2

x²-3x+2，
图象如图所示：

（2）补：点B（0，2）．（答案不唯一）
①过抛物线的任意一点的坐标，
②顶点坐标为（3，-

5

2

），
③当x轴的交点坐标（3+

5

，0）或（3-

5

，0），
④当y轴的交点坐标为（0，2），
⑤b=-3或c=2．
解：（1）能．
由结论中的对称轴x=3，
得-

b

2×( 1 2 )

=3，则b=-3，
又因图象经过点A（c，2），
则：

1

2

c2-3c+c=-2，
c²-4c+4=0，（c-2）²=0，
∴c₁=c₂=2，
∴c=2．
∴二次函数解析式为y=

1

2

x²-3x+2，
图象如图所示：

（2）补：点B（0，2）．（答案不唯一）
①过抛物线的任意一点的坐标，
②顶点坐标为（3，-

5

2

），
③当x轴的交点坐标（3+

5

，0）或（3-

5

，0），
④当y轴的交点坐标为（0，2），
⑤b=-3或c=2．