试题

题目：
青果学院如图，抛物线y=-x2-4x+3与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，问：在此抛物线上是否存在一点P，使直线OP与抛物线只有点P这个公共点？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
解：设过点O的直线解析式为y=kx（k≠0），
联立
y=kx
y=-x2-4x+3
消掉y得，-x2-4x+3=kx，
整理得，x2+（4+k）x+3=0，
∵直线OP与抛物线只有点P这个公共点，
∴△=（4+k）2-4×3=0，
解得k=-4±2
3
，
x=
-b±
b2-4ac
2a
=±
3
，
x=
3
时，y=-（
3
）2-4×
3
+3=-4
3
，
x=-
3
时，y=-（-
3
）2-4×（-
3
）+3=4
3
，
∴存在点P为（
3
，-4
3
）或（-
3
，4
3
）．
解：设过点O的直线解析式为y=kx（k≠0），
联立
y=kx
y=-x2-4x+3
消掉y得，-x2-4x+3=kx，
整理得，x2+（4+k）x+3=0，
∵直线OP与抛物线只有点P这个公共点，
∴△=（4+k）2-4×3=0，
解得k=-4±2
3
，
x=
-b±
b2-4ac
2a
=±
3
，
x=
3
时，y=-（
3
）2-4×
3
+3=-4
3
，
x=-
3
时，y=-（-
3
）2-4×（-
3
）+3=4
3
，
∴存在点P为（
3
，-4
3
）或（-
3
，4
3
）．
考点梳理
二次函数的性质．
设过点O的直线解析式为y=kx（k≠0），与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据只有一个公共点，方程有两个相等的实数根△=0，求出x的值，再求出y的值即可得到点P的坐标．
本题考查了二次函数的性质，根据只有一个公共点，根的判别式△=0列出求出k的值是解题的关键．
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