试题

设二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，c＞1），当x=c时，y=0；当0＜x＜c时，y＞0．
（1）请比较ac和1的大小，并说明理由；
（2）当x＞0时，求证：

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．

（1）解：当x=c时，y=0，即ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
又c＞1，所以ac+b+1=0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x=c时，y=0，
于是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴：x=-

b

2a

≥c即b≤-2ac
所以b=-ac-1≤-2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x=1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

=

(a+b+c)x2+(a+2b+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

=

(a+b+c)x2+(a-2ac-2+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=（1-a）（2c-1）+（c-1）＞0
所以当x＞0时，

(a+b+c)x2+(a-2ac+3c-2)x+2c

x(x+1)(x+2)

＞0，
即

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．
（1）解：当x=c时，y=0，即ac²+bc+c=0，c（ac+b+1）=0，
又c＞1，所以ac+b+1=0
又因为当0＜x＜c时，y＞0，x=c时，y=0，
于是二次函数y=ax²+bx+c的对称轴：x=-

b

2a

≥c即b≤-2ac
所以b=-ac-1≤-2ac即ac≤1；
（2）证明：因为0＜x=1＜c时，y＞0，所以a+b+c＞0
由ac≤1及a＞0，c＞1得：0＜a＜1
因为

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

=

(a+b+c)x2+(a+2b+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

=

(a+b+c)x2+(a-2ac-2+3c)x+2c

x(x+1)(x+2)

而a+b+c＞0，0＜a＜1，c＞1，a-2ac-2+3c=（1-a）（2c-1）+（c-1）＞0
所以当x＞0时，

(a+b+c)x2+(a-2ac+3c-2)x+2c

x(x+1)(x+2)

＞0，
即

a

x+2

+

b

x+1

+

c

x

＞0．