试题

设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．（初二）

证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，
∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，
∵E，F，C，D共圆
∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°-∠FCD，
∵∠PAF=180-∠FAQ，
∴∠FCD=∠FAQ，
∴FCAQ四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED，
在△EPA和△FQA中

∠PEA=∠QFA AF=AE ∠PAE=∠QAF

，
∴△EPA≌△FQA，
∴AP=AQ．
证明：作E点关于GA的对称点F，连FQ、FA，FC，
∵OA⊥MN，EF⊥OA，
则有∠FAP=∠EAQ，∠EAP=∠FAQ，FA=EA，
∵E，F，C，D共圆
∴∠PAF=∠AFE=∠AEF=180°-∠FCD，
∵∠PAF=180-∠FAQ，
∴∠FCD=∠FAQ，
∴FCAQ四点共圆，
∠AFQ=∠ACQ=∠BED，
在△EPA和△FQA中

∠PEA=∠QFA AF=AE ∠PAE=∠QAF

，
∴△EPA≌△FQA，
∴AP=AQ．