试题

如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=

2

AE，且BD=2

3

，求四边形ABCD的面积．

解：∵AE=EC，AB=

2

AE，
∴AB²=2AE²=AE·AC，
∴AB：AC=AE：AB，
又∠EAB=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
从而AB=AD．
连接AO，交BD于H，连接OB，
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，
∴BH=HD，
BO=2，BH=

3

，
则BH=HD=

3

．
∴OH=

OB2-BH2

=

4-3

=1，AH=OA-OH=2-1=1．
∴S_△ABD=

1

2

BD·AH=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∵E是AC的中点，∴S_△ABE=S_△BCE，
S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ABD=S_△BCD，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABD=2

3

．
解：∵AE=EC，AB=

2

AE，
∴AB²=2AE²=AE·AC，
∴AB：AC=AE：AB，
又∠EAB=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴∠ABE=∠ACB，
从而AB=AD．
连接AO，交BD于H，连接OB，
∵AB=AD，
∴AO⊥BD，
∴BH=HD，
BO=2，BH=

3

，
则BH=HD=

3

．
∴OH=

OB2-BH2

=

4-3

=1，AH=OA-OH=2-1=1．
∴S_△ABD=

1

2

BD·AH=

1

2

×2

3

×1=

3

，
∵E是AC的中点，∴S_△ABE=S_△BCE，
S_△ADE=S_△CDE，∴S_△ABD=S_△BCD，
∴S_{四边形ABCD}=2S_△ABD=2

3

．