试题

题目：
以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2=AC·BC，则∠CAB=
75°或15°
75°或15°
．
答案
75°或15°

青果学院解：∵AB为直径，C是半圆周上的点，
∴∠ACB=90°，0A=OB=OC，
∴S△ABC=
1
2
AC·BC，
S△AOC=
1
2
S△ABC；
又∵OC2=AC·BC，
∴
1
2
OC2=2·
1
2
OC2sin∠AOC，
∴sin∠AOC=
1
2
；
当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°
∠CAB=
1
2
∠COB=75°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）；
当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°
∠CAB=
1
2
∠COB=15°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）．
故答案为：75°或15°．
考点梳理
圆周角定理；三角形的面积；含30度角的直角三角形．
根据直径所对的圆周角是直角求得∠ACB=90°；又有三角形的面积公式：面积=底×高、面积=
1
2
absinC，及已知条件OC2=AC·BC，求得sin∠AOC=
1
2
；分类讨论：当∠AOC=30°时，∠COB=180°-30°=150°；当∠AOC=150°时，∠COB=180°-150°=30°；由同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得∠CAB=
1
2
∠COB．
本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
推理填空题．
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