试题

题目：
青果学院（2010·滨湖区二模）如图，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O为△ABC的外接圆，P为弧BC上任一点，则四边形OABP的周长的最大值是
15+5
2
15+5
2
cm．
答案
15+5
2

青果学院解：过点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°·AB=
5
2
2

BC=2BD=5
2
cm
∵∠BOC=2∠A=90°
∴OB=OC=5cm
当点P在点C的位置时，四边形OABP的周长最大为5+5+5
2
+5=（15+5
2
）cm．
考点梳理
圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
四过边形OABP的周长为OA+AB+BP+OP，在这四条线段中OA、OC是半径是定值，AB是定值5，故周长要想最大，则BP的值最大，其位置应在点C处，即求得BC的长为BP的最大值．点B作BD⊥AC于D，连接OB，OC，先根据直角三角形ABD求出BD的长，再根据直角三角形BDC求出BC的长，根据圆周角和圆心角之间的关系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半径的长，从而求得四边形的最大周长．
解决此类动点问题的关键是分析题意，找到不变的量和变化的量，通过确定变量的最值来确定周长的最值．如本题中四过边形OABP的周长中OA，OC是半径是定值，AB是定值5，故周长要想最大，则BP的值最大，其位置应在点C处，即求得BC的长为BP的最大值．
压轴题．
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