试题

题目：
青果学院（2013·常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=
2
3
2
3
．
答案
2
3

解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=
1
2
∠BDC=
1
2
×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷
3
2
=4
3
，
在Rt△BCD中，DC=
1
2
BD=
1
2
×4
3
=2
3
．
故答案为：2
3
．
考点梳理
圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．
压轴题．
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