试题

题目：
在△ABC中，已知BC=4cm，∠BAC=45°，则△ABC的最大面积是（　　）



答案
C
青果学院解：如图，△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×45°=90°，
过点O作OD⊥BC，垂足为D，则
BD=CD=
1
2
BC=2（等腰三角形三线合一），
∵∠BOC=90°，OD⊥BC，
∴OD=
1
2
BC=2，
半径OB=
OD2+BD2
=
22+22
=2
2
，
∵BC=4cm一定，
∴BC边上的高越大，则△ABC的面积越大，当高过圆心时，最大，
此时BC边上的高为：2
2
+2，
∴△ABC的最大面积是：
1
2
×4×（2
2
+2）=4（
2
+1）cm2．
故选C．
考点梳理
圆周角定理；垂径定理．
作出△ABC的外接圆⊙O，连接OB、OC，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠BOC=90°，过点O作OD⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出半径OB的长度，再根据三角形的面积公式，底边BC一定，边BC上的高越大则三角形的面积越大，所以，当BC边上的高过圆心O时，三角形的面积最大，进行求解即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，以及三角形的面积公式，根据题意作出△ABC的外接圆，利用圆的知识进行求解是解题的关键，本题灵活性较强，是道好题．
计算题．
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