试题

（2006·南宁）如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）判断△APB是什么三角形，证明你的结论；
（2）比较DP与PC的大小；
（3）画出以AB为直径的⊙O，交AD于点E，连接BE与AP交于点F，若tan∠BPC=

4

3

，求tan∠AFE的值．

解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形；

（2）∵DC∥AB，
∴∠BAP=∠DPA．
∵∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP
同理证得CP=CB．
∴DP=PC．

（3）∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=∠APB=90°．
∵AP为角平分线，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠ABP，
又ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵tan∠BPC=

4

3

，
∴tan∠AFE=

4

3

．
解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°；
又∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA
∴∠PAB=

1

2

∠DAB，∠PBA=

1

2

∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=

1

2

（∠ABC+∠DAB）
=

1

2

×180°=90°，
∴△APB是直角三角形；

（2）∵DC∥AB，
∴∠BAP=∠DPA．
∵∠DAP=∠PAB，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP
同理证得CP=CB．
∴DP=PC．

（3）∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB=∠APB=90°．
∵AP为角平分线，即∠EAF=∠PAB，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠ABP，
又ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵tan∠BPC=

4

3

，
∴tan∠AFE=

4

3

．