试题

（2007·临夏州）如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，△ABC还需满足什么条件，点E才一定是AC的中点．（直接写出结论）

解：（1）AB=AC．
证法一：
连接AD，则AD⊥BC．
∵AD为公共边，BD=DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴AB=AC．
证法二：
连接AD，则AD⊥BC．
又BD=DC，∴AD是线段BD的中垂线．
∴AB=AC．

（2）△ABC为正三角形，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C．
解：（1）AB=AC．
证法一：
连接AD，则AD⊥BC．
∵AD为公共边，BD=DC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD．
∴AB=AC．
证法二：
连接AD，则AD⊥BC．
又BD=DC，∴AD是线段BD的中垂线．
∴AB=AC．

（2）△ABC为正三角形，或AB=BC，或AC=BC，或∠A=∠B，或∠A=∠C．