试题

题目：
青果学院（2010·金华）如图，AB是⊙O的直径，C是
BD
的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为
5
5
，CE的长是
24
5
24
5
．
答案
5

24
5

青果学院（1）证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，
∵C是
BD
的中点，
∴
BC
=
DC
，
∴∠1﹦∠A（等弧所对的圆周角相等），
∴∠1﹦∠2，
∴CF﹦BF；


（2）解：∵C是
BD
的中点，CD﹦6，
∴BC=6，
∵∠ACB﹦90°，
∴AB2=AC2+BC2，
又∵BC=CD，
∴AB2=64+36=100，
∴AB=10，
∴CE=
AC·BC
AB
=
8×6
10
=
24
5
，
故⊙O的半径为5，CE的长是
24
5
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
（1）要证明CF﹦BF，可以证明∠1=∠2；AB是⊙O的直径，则∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，则∠CEB﹦90°，则∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，则∠1=∠2；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE的长．
本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
几何综合题．
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