试题

（2010·永州）如图，在△ABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点．
（1）求证：△ABC为等边三角形；
（2）求DE的长；
（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB=

1

2

×2=1．

（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，
由（1）（2）知，BD=ED，
∵∠BAC=60°，DE∥AB，
∴∠AED=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=120°，
∴∠PBD=∠AED，
要使△PBD≌△AED；
只需PB=AE=1．
（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∵AB=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：连接BE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，即E为AC的中点，
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB=

1

2

×2=1．

（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，
由（1）（2）知，BD=ED，
∵∠BAC=60°，DE∥AB，
∴∠AED=120°，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=120°，
∴∠PBD=∠AED，
要使△PBD≌△AED；
只需PB=AE=1．