试题

（2011·宁波）阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆

ADB

的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

解：（1）设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴是真命题；

（2）∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=

2

a，c=

3

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

；

（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆

ADB

的中点，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形；

②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：

2

：

3

或AC：AE：CE=

3

：

2

：1，
当AC：AE：CE=1：

2

：

3

时，AC：CE=1：

3

，即AC：CB=1：

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=

3

：

2

：1时，AC：CE=

3

：1，即AC：CB=

3

：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．
解：（1）设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合奇异三角形”的定义．
∴是真命题；

（2）∵∠C=90°，
则a²+b²=c²①，
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②，
由①②得：b=

2

a，c=

3

a，
∴a：b：c=1：

2

：

3

；

（3）∵①AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵点D是半圆

ADB

的中点，
∴

AD

=

BD

，
∴AD=BD，
∴AB²=AD²+BD²=2AD²，
∴AC²+CB²=2AD²，
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²，
∴△ACE是奇异三角形；

②由①可得△ACE是奇异三角形，
∴AC²+CE²=2AE²，
当△ACE是直角三角形时，
由（2）得：AC：AE：CE=1：

2

：

3

或AC：AE：CE=

3

：

2

：1，
当AC：AE：CE=1：

2

：

3

时，AC：CE=1：

3

，即AC：CB=1：

3

，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°；
当AC：AE：CE=

3

：

2

：1时，AC：CE=

3

：1，即AC：CB=

3

：1，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度数为60°或120°．