试题

题目：
圆心角定理是“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”，记作∠AOB=
1
2
(
AB
+
CD)
（如图①）；
圆心角定理也可以叙述成“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，
记作∠AOB=
1
2
（弧AB的度数+弧CD的度数）（如图①）
请回答下列问题：
（1）如图②，猜测∠APB与
AB
、
CD
有怎样的等量关系，并说明理由；
（2）如图③，猜测∠APB与
AB
、
CD
有怎样的等量关系，并说明理由．
（提示：“两条平行弦所夹的弧相等”可当定理用）
青果学院
答案
青果学院解：（1）∠APB=
1
2
(
AB
+
CD)
．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，
AE
=
CF
，
BM
=
DN，

∴
AB
+
CD
=
EM
+
NF

∵∠EOM=
1
2
(
EM
+
NF
)
∴∠APB=
1
2
(
AB
+
CD)
．
青果学院
（2）∠APB=
1
2
（
AB
-
CD
）．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，
AE
=
CF
，
BM
=
DN，

∴
AB
-
CD
=
EM
+
NF
，
∵∠EOM=
1
2
(
EM
+
NF
)，
∴∠APB=
1
2
（
AB
-
CD
）．
青果学院解：（1）∠APB=
1
2
(
AB
+
CD)
．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，
AE
=
CF
，
BM
=
DN，

∴
AB
+
CD
=
EM
+
NF

∵∠EOM=
1
2
(
EM
+
NF
)
∴∠APB=
1
2
(
AB
+
CD)
．
青果学院
（2）∠APB=
1
2
（
AB
-
CD
）．
理由如下：
过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，
∴∠APB=∠EOM，
AE
=
CF
，
BM
=
DN，

∴
AB
-
CD
=
EM
+
NF
，
∵∠EOM=
1
2
(
EM
+
NF
)，
∴∠APB=
1
2
（
AB
-
CD
）．
考点梳理
圆周角定理．
（1）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙0于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得∠APB=
1
2
(
AB
+
CD)
．
（2）过O点分别作EF∥AC，MN∥BD交⊙O于E、F、M、N，根据“圆心角度数等于它所对的弧及圆心角的对顶角所对的弧的和的一半”，以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可证得）∠APB=
1
2
（
AB
-
CD
）．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了两条平行弦所夹的弧相等．
探究型．
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