试题

（2011·枣阳市模拟）如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．

解：（1）△ABC是等边三角形．（1分）
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形．（3分）

（2）当点P位于

AB

中点时，四边形PBOA是菱形．（4分）
连接OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°．（5分）
P是

AB

的中点，∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形．（6分）
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形．（7分）
解：（1）△ABC是等边三角形．（1分）
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形．（3分）

（2）当点P位于

AB

中点时，四边形PBOA是菱形．（4分）
连接OP，∵∠AOB=2∠ACB=120°．（5分）
P是

AB

的中点，∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形．（6分）
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形．（7分）