试题

（1997·广西）已知：如图，四边形ABCD是圆内接四边形，

DB

=

DC

，以AD为直径作⊙O交BA的延长线于E，交AC于F．
（1）求证：AE=AE；
（2）设AB=2，AC=7，求AE的长．

（1）证明：连接DE、DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠E=90°，∠DFA=90°，
∵

DB

=

DC

，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAF，
在△ADE≌△ADF中

∠E=∠DFA ∠EAD=∠FAD AD=AD

∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF；

（2）解：由（1）得DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE=DF DB=DC

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴EB=FC，
∴AE+AB=AC-AF．
由（1）知AE=AF，
∴AE+AB=AC-AE，
∴AE=

1

2

（AC-AB）=

1

2

（7-2）=

5

2

．
（1）证明：连接DE、DF，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠E=90°，∠DFA=90°，
∵

DB

=

DC

，
∴∠DBC=∠DCB，
∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC，
∴∠EAD=∠DAF，
在△ADE≌△ADF中

∠E=∠DFA ∠EAD=∠FAD AD=AD

∴△ADE≌△ADF，
∴AE=AF；

（2）解：由（1）得DE=DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DE=DF DB=DC

∴Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴EB=FC，
∴AE+AB=AC-AF．
由（1）知AE=AF，
∴AE+AB=AC-AE，
∴AE=

1

2

（AC-AB）=

1

2

（7-2）=

5

2

．