试题

⊙O中，AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，求证：

CA+CB

CD

=

2

．

证明：过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=

2

2

AC，在Rt△BCN中，CN=

2

2

BC，
∴CM+CN=

2

2

（AC+BC），
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，

∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=

2

2

（AC+BC），
∴

AC+BC

CD

=

2

．
证明：过A作AM⊥CD，过B作BN⊥CD，垂足分别为M、N，
∵AB为直径，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACM与△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=

2

2

AC，在Rt△BCN中，CN=

2

2

BC，
∴CM+CN=

2

2

（AC+BC），
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM与△BDN中，

∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形两直角边相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=

2

2

（AC+BC），
∴

AC+BC

CD

=

2

．