试题

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB=15°，OE=2

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）将△OBD绕O点旋转，使弦BD的一个端点与弦AC的一个端点重合，则弦BD与弦AC的夹角为．

解：（1）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
∴弧BC=弧BD，
∴∠BDC=

1

2

∠BOD，
而∠CDB=15°，
∴∠BOD=2×15°=30°，
在Rt△ODE中，∠DOE=30°，OE=2

3

，
∴OE=

3

DE，OD=2DE，
∴DE=

2 3

3

=2，
∴OD=4，
即⊙O的半径为4；

（2）有4种情况：如图：

①如图1所示：∵OA=OB，∠AOB=30°，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∵CD⊥AB，AB是直径，
∴弧BC=弧BD，
∴∠CAB=

1

2

∠BOD=15°，
∴∠CAB=∠BAO+∠CAB=15°+75°=90°；
②如图2所示，∠CAD=75°-15°=60°；
③如图3所示：∠ACB=90°；
④如图4所示：∠ACB=60°；
故答案为：60°或90°．