试题

题目：
青果学院如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于D点，交AC于E点，BD=DE
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若E是AC的中点，求
BD
的度数．
答案
青果学院（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴∠BAD=∠EAD，
而AD=AD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵AD⊥BC，即△ADC为直角三角形，
而E是AC中点，即DE为斜边AC上的中线，
∴DE=AE，
而BD=DE，
∴
BD
=
DE
=
EA
，
又∵AB是直径，
∴
BD
的度数为
1
3
×180°=60°．
青果学院（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴∠BAD=∠EAD，
而AD=AD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵AD⊥BC，即△ADC为直角三角形，
而E是AC中点，即DE为斜边AC上的中线，
∴DE=AE，
而BD=DE，
∴
BD
=
DE
=
EA
，
又∵AB是直径，
∴
BD
的度数为
1
3
×180°=60°．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
（1）连接AD，由AB是直径，得到AD⊥BC，又由BD=DE，则∠BAD=∠EAD，易证AB=AC；
（2）由E是AC的中点，得DE为斜边AC上的中线，即有DE=AE，而BD=DE，所以有
BD
=
DE
=
EA
，而它们的和为半圆，即可求出
BD
的度数．
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度，相等的弦所对应的弧相等．
证明题．
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