试题

题目：
青果学院如图，已知⊙O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，
AC
的度数为100°，
BC
=2
BD
，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为（　　）



答案
C
青果学院解：如图：作点C关于AB的对称点C′，根据对称性可知：PC=PC′．由两点之间线段最短，此时DC′的长就是PC+PD的最小值．
过O作OE⊥C′D，垂足为E，
∵
AC
=100°，
∴
CDB
=180°-100°=80°，
∵
BC
=2
BD
，
∴
DB
=40°，
∴
DBC′
=120°，
∴∠DOC′=120°，∠D=30°，
在△DOE中，OD=R，∠D=30°，
∴DE=OD·cos30°=
3
2
R，
∵OE⊥C′D，
∴C′D=2DE=
3
R，
∴CP+DP=
3
R．
故选：C．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
根据轴对称，作出点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点P，此时PC+PD最小．由题意求出
DB
的度数，进而得到
DBC′
的度数，算出∠DOC′的度数，再在直角三角形DEO利用三角函数计算出DE的长，再根据垂径定理可以得到DC′的长，DC′的长就是PC+PD的最小值．
本题主要考查了垂径定理，以及轴对称-最短路线问题，根据轴对称找出点C的对称点点C′，由两点之间线段最短，确定DC′的长就是PC+PD的最小值，然后由题目所告诉弧的度数得到∠D的度数，在△DOE中求出DE的长．
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