试题

题目：
青果学院如图，已知在⊙O中，直径AB为8cm，弦AC为4cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接BC，AD．
（1）求BC的长．
（2）求∠CAD的度数．
答案
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=8，AC=4，
∴BC2=AB2-AC2=64-16=48，
∴BC=4
3
，
 
（2）∵∠ACB=90°，AB=8，AC=4，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=60°+45°=105°．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=8，AC=4，
∴BC2=AB2-AC2=64-16=48，
∴BC=4
3
，
 
（2）∵∠ACB=90°，AB=8，AC=4，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=60°+45°=105°．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理．
（1）根据圆周角定理推出∠ACB=90°，确定直角三角形，然后根据勾股定理即可推出BC的长度，（2）根据（1）所推出的结论，结合特殊角的锐角三角函数值，即可求出∠B和∠CAD的度数，然后根据角平分线的性质推出∠BCD=45°，由此可知∠BAD的度数也为45°，由图形可知∠CAD=∠BAD+∠CAD，通过计算即可求出结果．
本题主要考查圆周角定理，勾股定理，关键在于综合运用相关的性质定理推出∠BAD和∠CAD的度数．
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