试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O的直径，C是
BD
的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．
答案
青果学院（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴
BC
=
BP
，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是
BD
的中点，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=6，AC=8，
∴BC=6，
在Rt△ABC中，AB=
AC2+BC2
=10，
∴⊙O的半径为5．
青果学院（1）证明：延长CE交⊙O于点P，
∵CE⊥AB，
∴
BC
=
BP
，
∴∠BCP=∠BDC，
∵C是
BD
的中点，
∴CD=CB，
∴∠BDC=∠CBD，
∴∠CBD=∠BCP，
∴CF=BF；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD=6，AC=8，
∴BC=6，
在Rt△ABC中，AB=
AC2+BC2
=10，
∴⊙O的半径为5．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP=∠BDC，又由C是
BD
的中点，易证得∠BDC=∠CBD，继而可证得CF=BF；
（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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