试题

题目：
青果学院如图所示，已知AB=AC，∠APC=60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BC=4
3
，求⊙O的面积．
答案
青果学院证明：（1）在⊙O中，∠ABC=∠APC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：连接AO并延长交圆O于F，交BC于E，
如图所示，圆O为等边△ABC的外接圆，
∴AE⊥BC，BE=CE=2
3
，
在Rt△ABE中，AE=
AB2 - BE2
=6，
在Rt△ABF中，AE⊥BC，
∴∠ABF=∠AEB=90°，
又∵∠BAF=∠EAB，
∴△BAE∽△FAB，
∴
AB
AF
=
AE
AB

∴AF=
AB2
AE
=8，
∴半径为4，
面积S=πr2=16π．
青果学院证明：（1）在⊙O中，∠ABC=∠APC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．

（2）解：连接AO并延长交圆O于F，交BC于E，
如图所示，圆O为等边△ABC的外接圆，
∴AE⊥BC，BE=CE=2
3
，
在Rt△ABE中，AE=
AB2 - BE2
=6，
在Rt△ABF中，AE⊥BC，
∴∠ABF=∠AEB=90°，
又∵∠BAF=∠EAB，
∴△BAE∽△FAB，
∴
AB
AF
=
AE
AB

∴AF=
AB2
AE
=8，
∴半径为4，
面积S=πr2=16π．
考点梳理
等边三角形的判定；勾股定理；圆周角定理．
（1）等腰三角形再加上一个角为60°即为等边三角形；
（2）求圆的面积，即求出圆的半径即可．
熟练掌握等边三角形的判定，会求解一些简单的面积问题．
计算题；证明题．
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