试题

如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E，求证：OE=

1

2

AD．

证明：
连接CO并延长交⊙O于P，连接BP、AP，
∵CP是直径，
∴∠PBC=∠PAC=90°，
∵OE⊥BC，OE过圆心O，
∴BE=CE，
∵PO=OC，
∴OE=

1

2

BP，
∵∠PAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵BD⊥AC，
∴PA∥BD，
∴弧BP=弧AD（平行弦所夹的弧相等）
∴BP=AD，
即OE=

1

2

BP=

1

2

AD．
证明：
连接CO并延长交⊙O于P，连接BP、AP，
∵CP是直径，
∴∠PBC=∠PAC=90°，
∵OE⊥BC，OE过圆心O，
∴BE=CE，
∵PO=OC，
∴OE=

1

2

BP，
∵∠PAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵BD⊥AC，
∴PA∥BD，
∴弧BP=弧AD（平行弦所夹的弧相等）
∴BP=AD，
即OE=

1

2

BP=

1

2

AD．