试题

如图，在半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在弧AB上运动．
（1）当点P与点C关于AB对称时，求CP的长；
（2）当点P运动到弧AB的中点时，求CP的长；
（3）点P在弧AB上运动时，求CP的长的取值范围．

解：（1）∵点P与点C关于AB对称，
∴CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6；

（2）当点P运动到弧AB的中点时，连接PB，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是弧AB的中点，
∴AP=BP=5

2

，∠ACP=∠BCP=45°，
∵BC=8，
∴CE=BE=4

2

，
∴PB=5

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=3

2

，
∴CP=CE+PE=7

2

；

（3）点P在弧AB上运动时，恒有 CP＞CA，
即CP＞6，
当CP过圆心O，即PC取最大值10，
∴CP的取值范围是6＜CP≤10．
解：（1）∵点P与点C关于AB对称，
∴CP⊥AB，设垂足为D．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6；

（2）当点P运动到弧AB的中点时，连接PB，过点B作BE⊥PC于点E．
∵P是弧AB的中点，
∴AP=BP=5

2

，∠ACP=∠BCP=45°，
∵BC=8，
∴CE=BE=4

2

，
∴PB=5

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=3

2

，
∴CP=CE+PE=7

2

；

（3）点P在弧AB上运动时，恒有 CP＞CA，
即CP＞6，
当CP过圆心O，即PC取最大值10，
∴CP的取值范围是6＜CP≤10．