试题

如图，已知A为优弧中点，且AB=BC，E为劣弧

BC

上一点．
（1）求证：AE=BE+CE
（2）试猜想，当点E在优弧

BC

上运动时，线段AE、BE、CE之间具有怎样的关系，画图并证明你的猜想．

（1）证明：连接AC
∵AB=BC，且点A为

BC

中点，
∴△ABC为等边三角形，
在AE上截取EF=BE，连接BF，
∵∠AEB=∠ACB=60°，且EF=BE，
∴△EFB为等边三角形，
∵∠ABC=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBF，
在△ABF和△CBE中
∵AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BE
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AE=BE+CE．

（2）解：猜想的结果为：AE=|BE-CE|．
当E点在

AC

上则有：AE=BE-CE．
证明：如图，连接AC，
∵AB=BC，且A为

BC

中点，
∴△ABC为等边三角形，
在BE上取EF=AE，连接AF，
∵∠AEF=∠ACB=60°，且EF=AE，
∴△EFA为等边三角形，
∵∠BAC=∠FAE=60°，
∴∠BAF=∠EAC．
在△ABF和△ACE中
∵AB=AC
∠BAF=∠EAC
AF=AE
∴△ABF≌△ACE
∴BF=CE，
∴AE=BE-CE．
当E点在

AB

上则有：AE=CE-BE．证明方法一样．
所以当点E在优弧

BC

上运动时，线段AE、BE、CE之间具有的关系为：AE=|BE-CE|．
（1）证明：连接AC
∵AB=BC，且点A为

BC

中点，
∴△ABC为等边三角形，
在AE上截取EF=BE，连接BF，
∵∠AEB=∠ACB=60°，且EF=BE，
∴△EFB为等边三角形，
∵∠ABC=∠FBC=60°，
∴∠ABF=∠EBF，
在△ABF和△CBE中
∵AB=CB
∠ABF=∠CBF
BF=BE
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∴AE=BE+CE．

（2）解：猜想的结果为：AE=|BE-CE|．
当E点在

AC

上则有：AE=BE-CE．
证明：如图，连接AC，
∵AB=BC，且A为

BC

中点，
∴△ABC为等边三角形，
在BE上取EF=AE，连接AF，
∵∠AEF=∠ACB=60°，且EF=AE，
∴△EFA为等边三角形，
∵∠BAC=∠FAE=60°，
∴∠BAF=∠EAC．
在△ABF和△ACE中
∵AB=AC
∠BAF=∠EAC
AF=AE
∴△ABF≌△ACE
∴BF=CE，
∴AE=BE-CE．
当E点在

AB

上则有：AE=CE-BE．证明方法一样．
所以当点E在优弧

BC

上运动时，线段AE、BE、CE之间具有的关系为：AE=|BE-CE|．