试题

如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是

AN

的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1．请问：P在MN上什么位置时，AP+BP的值最小？并给出AP+BP的最小值．

解：P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；
作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，
连接OA、OA′、OB，
∵

AN

=

1

3

MN

，
∴∠AON=∠A′ON=60°．
∵

AB

=

BN

，
∴∠BON=

1

2

∠AON=30°．
∴∠A′OB=90°．
∴A′B=

OA′2+OB2

=

12+12

=

2

．
即AP+BP的最小值是

2

．
解：P位于A′B与MN的交点处，AP+BP的值最小；
作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，
连接BA′交MN于P，连接PA，则PA+PB最小，此时PA+PB=PA′+PB=A′B，
连接OA、OA′、OB，
∵

AN

=

1

3

MN

，
∴∠AON=∠A′ON=60°．
∵

AB

=

BN

，
∴∠BON=

1

2

∠AON=30°．
∴∠A′OB=90°．
∴A′B=

OA′2+OB2

=

12+12

=

2

．
即AP+BP的最小值是

2

．