试题

题目：
青果学院如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，求
CA+CB
CD
的值．
答案
青果学院解：连接AD、DB；作BE∥CD交AC延长线于E．
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，
∴∠E=∠ACD=60°，∠ECB=60°，
∴△BEC为等边三角形，
∴BE=EC=CB，
∵∠ADB=180°-∠ACB=∠ECB=60°，AD=BD，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD=DB=AB，
在△ABE与△DBC中，
AB=DB
∠BAE=∠BDC
BE=BC  
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴CD=AE=AC+CE=CA+CB，
∴
CA+CB
CD
=1．
青果学院解：连接AD、DB；作BE∥CD交AC延长线于E．
∵CD平分∠ACB，∠ACB=120°，
∴∠E=∠ACD=60°，∠ECB=60°，
∴△BEC为等边三角形，
∴BE=EC=CB，
∵∠ADB=180°-∠ACB=∠ECB=60°，AD=BD，
∴△ADB为等边三角形，
∴AD=DB=AB，
在△ABE与△DBC中，
AB=DB
∠BAE=∠BDC
BE=BC  
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）
∴CD=AE=AC+CE=CA+CB，
∴
CA+CB
CD
=1．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
首先连接AD、DB；作BE∥CD交AC延长线于E．由弦CD平分∠ACB，∠ACB=120°，可证得△BCE与△ABD是等边三角形，继而证得△ABE≌△DBC（SAS），则可得CD=AE=AC+CE=CA+CB，继而求得答案．
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
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