试题

在学习完全平方公式（x+y）²=x²+2xy+y²时，小明学会了用图形面积来验证它的正确性，如图1，图中大正方形的面积可以表示为（x+y）²，也可以表示为x²+xy+xy+y²，即（x+y）²=x²+xy+xy+y²，由此可以推出完全平方公式（x+y）²=x²+2xy+y²．这种根据图形极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图2中的面积表达式验证完全平方公式（x-y）²=x²-2xy+y²；
（2）请你用图3（四个直角三角形全等）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证勾股定理a²+b²=c²；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证勾股定理a²+b²=c²．

解：（1）图中右上角正方形的面积为（x-y）²，
也可以表示为x²-xy-xy+y²，
即（x-y）²=x²-xy-xy+y²，
由此可得（x-y）²=x²-2xy+y²；

（2）如图所示，大正方形的面积为c²，
也可以表示为（b-a）²+4×

1

2

ab=a²-2ab+b²+2ab=a²+b²，
所以，a²+b²=c²；


（3）设计图形如图，梯形的面积为

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+2ab+b²），
也可以表示为2×

1

2

ab+

1

2

c²，
所以，

1

2

（a²+2ab+b²）=2×

1

2

ab+

1

2

c²，
整理得，a²+b²=c²．
解：（1）图中右上角正方形的面积为（x-y）²，
也可以表示为x²-xy-xy+y²，
即（x-y）²=x²-xy-xy+y²，
由此可得（x-y）²=x²-2xy+y²；

（2）如图所示，大正方形的面积为c²，
也可以表示为（b-a）²+4×

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ab=a²-2ab+b²+2ab=a²+b²，
所以，a²+b²=c²；


（3）设计图形如图，梯形的面积为

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a²+2ab+b²），
也可以表示为2×

1

2

ab+

1

2

c²，
所以，

1

2

（a²+2ab+b²）=2×

1

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ab+

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c²，
整理得，a²+b²=c²．