试题

过平行四边形ABCD的对角线交点O任作直线l，总能将平行四边形分成面积相等的两部分，试说明理由．
（1）由此你能设计一个方案将封闭的中心对称图形面积平分吗？举例说明，这种方案对所有中心对称图形都适用吗？
（2）若四边形ABCD是菱形，l交AB、CD于点E、F，试探求梯形AEFD的三边AD，AE，DF之间的关系．

解：（1）过中心对称点作一条直线即可；
举例：如图平行四边形ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
则可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，
∴直线l将四边形ABCD的面积平分．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠EB0=∠FDO，
在△DF0和△BEO中，
∵

∠EBO=∠FDO ∠BOE=∠DOF OB=OD

，
∴△DF0≌△BEO（AAS），
∴DF=BE，
∴AE+DF=AE+BE=AB=AD．
即三边AD，AE，DF之间的关系为：AE+DF=AD．
解：（1）过中心对称点作一条直线即可；
举例：如图平行四边形ABCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，
则可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，
∴直线l将四边形ABCD的面积平分．
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠EB0=∠FDO，
在△DF0和△BEO中，
∵

∠EBO=∠FDO ∠BOE=∠DOF OB=OD

，
∴△DF0≌△BEO（AAS），
∴DF=BE，
∴AE+DF=AE+BE=AB=AD．
即三边AD，AE，DF之间的关系为：AE+DF=AD．