题目:
(2010·南平)如图1,在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作·APCD,AC与PD相交于点E,已知∠ABC=∠AEP=α(0°<α<90°).
(1)求证:∠EAP=∠EPA;
(2)·APCD是否为矩形?请说明理由;
(3)如图2,F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系,并证明你的结论.
答案
(1)证明:在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP.
(2)解:·APCD是矩形.理由如下:
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,
则AC=PD,
∴·APCD是矩形.
(3)解:EM=EN.
证明:∵EA=EP,
∴∠EPA=
=
=90°-
α,
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-
α)=90°+
α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-
α+α=90°+
α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP,
在△EAM和△EPN中,
∴△EAM≌△EPN(ASA),
∴EM=EN.
(1)证明:在△ABC和△AEP中,
∵∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,
∴∠ACB=∠APE,
在△ABC中,AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴∠EPA=∠EAP.
(2)解:·APCD是矩形.理由如下:
∵四边形APCD是平行四边形,
∴AC=2EA,PD=2EP,
∵由(1)知∠EPA=∠EAP,
∴EA=EP,
则AC=PD,
∴·APCD是矩形.
(3)解:EM=EN.
证明:∵EA=EP,
∴∠EPA=
=
=90°-
α,
∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-(90°-
α)=90°+
α,
由(2)知∠CPB=90°,F是BC的中点,
∴FP=FB,
∴∠FPB=∠ABC=α,
∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-
α+α=90°+
α,
∴∠EAM=∠EPN,
∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN,
∴∠AEP=∠MEN,
∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP,
在△EAM和△EPN中,
∴△EAM≌△EPN(ASA),
∴EM=EN.