试题

（2012·怀化）如图，四边形ABCD是边长为3

2

的正方形，长方形AEFG的宽AE=

7

2

，长EF=

7

2

3

．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在图中，求D、N两点间的距离；
（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．

解：（1）根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，
∴∠M=90°，
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°，
∴∠BKO=∠AKM=75°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH=

7

2

，AH=

7

2

3

，∠H=90°，
∴tan∠HAN=

NH

AH

=

3

3

，
∴∠HAN=30°，
∴AN=2NH=7，
由旋转的性质：∠DAH=15°，
∴∠DAN=45°，
∵∠DAC=45°，
∴A，C，N共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD=3

2

，
∴DI=AI=

1

2

AC=

1

2

AB2+CD2

=3，
∴NI=AN-AI=7-3=4，
在Rt△DIN中，DN=

DI2+NI2

=5；

（3）点B在矩形ARTZ的外部．
理由：如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°，
∵∠R=90°，AR=

7

2

，
∴AK=

AR

cos30°

=

7 2

3 2

=

7 3

3

，
∵AB=3

2

＞

7 3

3

，
∴点B在矩形ARTZ的外部．
解：（1）根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，
∴∠M=90°，
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°，
∴∠BKO=∠AKM=75°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH=

7

2

，AH=

7

2

3

，∠H=90°，
∴tan∠HAN=

NH

AH

=

3

3

，
∴∠HAN=30°，
∴AN=2NH=7，
由旋转的性质：∠DAH=15°，
∴∠DAN=45°，
∵∠DAC=45°，
∴A，C，N共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD=3

2

，
∴DI=AI=

1

2

AC=

1

2

AB2+CD2

=3，
∴NI=AN-AI=7-3=4，
在Rt△DIN中，DN=

DI2+NI2

=5；

（3）点B在矩形ARTZ的外部．
理由：如图，根据题意得：∠BAR=15°+15°=30°，
∵∠R=90°，AR=

7

2

，
∴AK=

AR

cos30°

=

7 2

3 2

=

7 3

3

，
∵AB=3

2

＞

7 3

3

，
∴点B在矩形ARTZ的外部．