等腰直角三角形;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;旋转的性质.
(1)先连接CD,CF,DF,由DE⊥AC,且DE=AE=EC,根据定义易证△DEC是等腰直角三角形,同理△FGC是等腰直角三角形,那么∠DCE=45°,∠FCG=45°,进而易求∠DCF=90°,根据DE=AE=EC,FG=CG=GB,且C是AB中点,易求DE=EC=FG=CG,利用SAS可证△DCE≌△FCG,从而可证△DCF是等腰直角三角形;
(2)先连接EH,GH,AD,CH,利用SAS易证△EAH≌△GBH,则有EH=GH,∠AEH=∠BGH,而∠AED=∠FGB=90°,结合周角概念易证∠DEH=∠FGH,再利用SAS可证△DEH≌△FGH,从而有HD=HF,通过已知条件可知△ACH是直角三角形,且EH是斜边上的中线,那么AE=ED=EH,则有∠EAH=∠EHA,∠DHE=∠HDE,结合△AED是等腰直角三角形以及三角形内角和定理可求∠AHD=45°,同理可求∠BHF=45°,进而可求∠DHF=90°,那么可证△DHF是等腰直角三角形.
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,解题的关键是注意证明两边相等,且两边的夹角也相等的三角形才是等腰直角三角形;(2)中关键是求∠AHD=45°.
证明题.